Cancelaciones: lo que esconden los fractales

Al estudiar trayectorias fractales (1), como la de un movimiento browniano, se observa un fenómeno de cancelaciones íntimamente relacionado con la dimensión fractal. En este movimiento, en concreto, para que el móvil se aleje “n” pasos efectivos, de cualquier punto arbitrario, deben realizarse n² pasos totales. Es decir que el número de pasos que, en cierta forma, se han cancelado es de (n² – n): el número total menos el número efectivo.

Un movimiento todavía más intrincado e irregular que el movimiento browniano sería una trayectoria de dimensión fractal 3, es decir, capaz de “llenar” un espacio tridimensional. En este caso para que el móvil se aleje “n” pasos efectivos, de cualquier punto arbitrario, deben realizarse n³ pasos totales. Los pasos cancelados entonces serían (n³-n).

Las cancelaciones me han recordado algo muy similar que ocurre con la energía virtual de las fluctuaciones del vacío. En este caso los “pasos” cancelados (ver link de referencia) son (n - 1/n), donde 1/n representa la dependencia inversa de la energía virtual con la distancia. Si hallamos la tasa de pasos cancelados por paso (tasa de cancelación) encontramos que en el caso de la energía virtual sería:

(1- 1/n²)

En el caso de la trayectoria fractal de dimensión 3, curiosamente, encontramos la misma tasa, aunque, realmente no es ninguna casualidad. El exponente de “n”, en la expresión, es igual a la dimensión fractal menos uno, por lo que en determinados casos, en los que sólo sabemos la tasa de cancelación podremos saber la dimensión fractal de forma directa. Aunque tendremos que ir con cuidado, porque hemos generalizado a partir del caso sencillo de las trayectorias, es decir objetos geométricos de dimensión topológica 1.

En nuestro caso el valor encontrado habrá que multiplicarlo por la dimensión topológica correspondiente, pues para objetos de mayor dimensión que una trayectoria, unificamos resultados al considerar la dimensión fractal relativa, que es el cociente entre la dimensión fractal y la topológica (ver link de referencia 1).

Es sólo una conjetura, pero la llamada energía oscura tiene un ligero "aroma" a cancelación fractal de la energía de las fluctuaciones cuánticas del vacío (ver link de referencia 2). Un saludo amigos

Nota (1): Ojo, las trayectorias fractales no son realmente trayectorias como se entienden en la geometría convencional. Son discontinuas y de una infinita complejidad.

Link de referencia 1: Dos fractales clásicos y unas fluctuaciones cuánticas

Link de referencia 2: Mucho más sobre lo que esconden los fractales.