Desde que el ser humano desarrolló la capacidad de contar y empezó a explorar las propiedades de esos entes abstractos llamados números se ha sentido fascinado por lo que generaciones de mentes curiosas iban descubriendo. A medida que nuestro conocimiento sobre ellos aumentaba, algunos de ellos llamaban especialmente la atención y, a veces, hasta los mistificabamos. Tenemos al 0, representante de la nada, y que convierte a cualquier multiplicación en sí mismo, el 1, el primero de todo, y también con propiedades únicas, los números primos. Después descubrimos números que no eran enteros y que resultan a veces de las divisiones de dos enteros, los racionales. Los irracionales, que no pueden ser expresados como una fracción de enteros, etc. Pero si hay un número que ha fascinado y que ha hecho correr ríos de tinta, ese es π (pi). Un número que, a pesar de contar con una larga historia, no fue “bautizado” con el nombre con el que lo conocemos hoy hasta el siglo XVIII.
El principio
Pi es el número que se obtiene de dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro. No importa el tamaño de la circunferencia. Grande o pequeña, la proporción entre su longitud y su diámetro es siempre la misma. Aunque es probable que esta propiedad fuera conocida con anterioridad, la primeras pruebas que tenemos de su conocimiento son el papiro de Moscú de 1850 a.C. y el papiro Rhind de 1650 a.C. (aunque es una copia de un documento más antiguo. En ellos se tratan varios problemas matemáticos, en algunos de los cuales se aproxima la π como 256/81, lo que se desvía poco más del 0.6% de su valor real. Más o menos por la misma época, los babilonios daban a π el valor de 25/8. En el Antiguo Testamento, escrito más de diez siglos después, Yahvé no se complica mucho la vida y establece por decreto divino que π vale exáctamente 3.
Pero los grandes estudiosos de este número fueron los antiguos griegos, como Anaxágoras, Hipócrates de Quíos o Antifonte de Atenas. Anteriormente, el valor de π se determinaba, casi con toda seguridad, mediante medidas experimentales. Arquímedes fue el primero que sepamos, que realizó una estimación teórica de su valor. Usando polígonos circunscritos e inscritos (el mayor contenido en una circunferencia y el menor que la contiene) determinó que π era mayor que 223/71 y menor que 22/7.
Siguiendo el método de Arquímedes, otros matemáticos consiguieron mejores aproximaciones, y ya en 480, Zu Chongzhi había determinado el valor de π entre 3.1415926 y 3.1415927. Sin embargo, el método de los polígonos implica una gran cantidad de cálculos (recordemos que era a mano, y sin el sistema moderno de numeración), así que no había mucho futuro más allá.
Con esta nueva aproximación, la precisión del cálculo de π aumentó espectacularmente, y en 1873, William Shanks publicó el resultado de años de trabajo dando el valor de π hasta la 707ª posición. Por suerte no vivió hasta 1945, cuando se descubrió que había cometido un error de cálculo y que todas las cifras a partir de la posición 528 eran incorrectas. A pesar de ello, su aproximación fue la más precisa hasta la llegada de los ordenadores. Esta fue la penúltima revolución en el cálculo de π. Operaciones matemáticas que, a mano podían tardar minutos, ahora se realizaban en fracciones de segundo, y sin apenas posibilidades de error. John Wrench y L. R. Smith consiguieron calcular más de 2000 cifras en 70 horas, con el primer ordenador electrónico. La barrera del millón de cifras se alcanzó en 1973.
La última (de momento) innovación en el cálculo de π fue el descubrimiento de algoritmos iterativos que convergen a π mucho más rápido que las series infinitas, lo que permite alcanzar precisiones mucho mayores con la misma potencia de cálculo. El récord actual está en poco más de 10 billones de cifras correctas. ¿Para qué sirve calcular π con tanta precisión? Teniendo en cuenta que con 39 cifras se puede calcular el volumen del universo conocido con la precisión de un átomo, para nada… de momento.
Hasta 1761 no se pudo probar que π es irracional, o sea, no existen dos números naturales tales que a/b=π, y su trascendencia no fue probada hasta 1882, sin embargo todavía no se sabe si π+e, π/e o lnπ (e es otro número irracional y trascendente) son irracionales. Aparece en multitud de fórmulas que no están relacionadas con círculos. Es parte de la constante de normalización de la función normal, probablemente la más usada en estadística. Como ya hemos comentado antes, aparece en la solución de multitud de series y multiplicaciones infinitas y es fundamental en el estudio de los números complejos. En Física se le puede encontrar (dependiendo del sistema de unidades usado) en la constante cosmológica (el mayor error de Albert Einstein) o en la constante de permeabilidad magnética del vacío.
En cualquier base (decimal, binaria…), las cifras decimales de π pasan todas las pruebas de aleatoriedad, no se observa ningún patrón ni tendencia. A través de la función zeta de Riemann π se encuentra estrechamente relacionado con los números primos. Una larga historia para un número que seguro que todavía guarda muchas sorpresas.
http://mathworld.wolfram.com/Pi.html
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulae_involving_%CF%80
http://www.britishmuseum.org/explore/highlights/highlight_objects/aes/r/rhind_mathematical_papyrus.aspx
Pi es el número que se obtiene de dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro. No importa el tamaño de la circunferencia. Grande o pequeña, la proporción entre su longitud y su diámetro es siempre la misma. Aunque es probable que esta propiedad fuera conocida con anterioridad, la primeras pruebas que tenemos de su conocimiento son el papiro de Moscú de 1850 a.C. y el papiro Rhind de 1650 a.C. (aunque es una copia de un documento más antiguo. En ellos se tratan varios problemas matemáticos, en algunos de los cuales se aproxima la π como 256/81, lo que se desvía poco más del 0.6% de su valor real. Más o menos por la misma época, los babilonios daban a π el valor de 25/8. En el Antiguo Testamento, escrito más de diez siglos después, Yahvé no se complica mucho la vida y establece por decreto divino que π vale exáctamente 3.
Pero los grandes estudiosos de este número fueron los antiguos griegos, como Anaxágoras, Hipócrates de Quíos o Antifonte de Atenas. Anteriormente, el valor de π se determinaba, casi con toda seguridad, mediante medidas experimentales. Arquímedes fue el primero que sepamos, que realizó una estimación teórica de su valor. Usando polígonos circunscritos e inscritos (el mayor contenido en una circunferencia y el menor que la contiene) determinó que π era mayor que 223/71 y menor que 22/7.
Siguiendo el método de Arquímedes, otros matemáticos consiguieron mejores aproximaciones, y ya en 480, Zu Chongzhi había determinado el valor de π entre 3.1415926 y 3.1415927. Sin embargo, el método de los polígonos implica una gran cantidad de cálculos (recordemos que era a mano, y sin el sistema moderno de numeración), así que no había mucho futuro más allá.
La Ilustración
Hubo que esperar hasta el siglo XVII para que se produjera una nueva revolución en la manera de calcular π con el descubrimiento de las series infinitas, aunque la primera no fuera una serie sino una multiplicación. Las series infinitas son sumas de un número infinito de términos que tienen algún patrón de sucesión (por ejemplo, todos los números 1/n, con n desde 0 hasta infinito). En muchos casos la suma es finita y se puede calcular por diversos medios. Y resulta que algunas de estas series convergen a π o algún término relacionado con π. Para que una serie converja, es necesario (aunque no suficiente) que, a medida que aumente n, el término a sumar tienda a 0. De esta manera, cuantos más números sumemos, más cerca estaremos del valor real de π. Ahora tenemos dos vías de ataque para obtener un valor más preciso de π. O bien sumamos más números, o buscamos otra serie que tienda más rápido al valor final, de forma que tengamos que sumar menos números.Con esta nueva aproximación, la precisión del cálculo de π aumentó espectacularmente, y en 1873, William Shanks publicó el resultado de años de trabajo dando el valor de π hasta la 707ª posición. Por suerte no vivió hasta 1945, cuando se descubrió que había cometido un error de cálculo y que todas las cifras a partir de la posición 528 eran incorrectas. A pesar de ello, su aproximación fue la más precisa hasta la llegada de los ordenadores. Esta fue la penúltima revolución en el cálculo de π. Operaciones matemáticas que, a mano podían tardar minutos, ahora se realizaban en fracciones de segundo, y sin apenas posibilidades de error. John Wrench y L. R. Smith consiguieron calcular más de 2000 cifras en 70 horas, con el primer ordenador electrónico. La barrera del millón de cifras se alcanzó en 1973.
La última (de momento) innovación en el cálculo de π fue el descubrimiento de algoritmos iterativos que convergen a π mucho más rápido que las series infinitas, lo que permite alcanzar precisiones mucho mayores con la misma potencia de cálculo. El récord actual está en poco más de 10 billones de cifras correctas. ¿Para qué sirve calcular π con tanta precisión? Teniendo en cuenta que con 39 cifras se puede calcular el volumen del universo conocido con la precisión de un átomo, para nada… de momento.
Algunas curiosidades
Pero el cálculo del valor de π es sólo una pequeña parte de su historia. Han sido sus propiedades las que han hecho que esta constante despierte tanta curiosidad. Quizá el problema más asociado con π es el famoso problema de la cuadratura del círculo, consistente en encontrar la manera de crear un cuadrado con el mismo área que un círculo dado usando sólo regla y compás. Resolver la cuadratura del círculo obsesionó a generaciones de matemáticos durante veinticuatro siglos hasta que von Lindemann probó que π es un número trascendente (no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales) y por tanto la cuadratura del círculo es imposible.Hasta 1761 no se pudo probar que π es irracional, o sea, no existen dos números naturales tales que a/b=π, y su trascendencia no fue probada hasta 1882, sin embargo todavía no se sabe si π+e, π/e o lnπ (e es otro número irracional y trascendente) son irracionales. Aparece en multitud de fórmulas que no están relacionadas con círculos. Es parte de la constante de normalización de la función normal, probablemente la más usada en estadística. Como ya hemos comentado antes, aparece en la solución de multitud de series y multiplicaciones infinitas y es fundamental en el estudio de los números complejos. En Física se le puede encontrar (dependiendo del sistema de unidades usado) en la constante cosmológica (el mayor error de Albert Einstein) o en la constante de permeabilidad magnética del vacío.
En cualquier base (decimal, binaria…), las cifras decimales de π pasan todas las pruebas de aleatoriedad, no se observa ningún patrón ni tendencia. A través de la función zeta de Riemann π se encuentra estrechamente relacionado con los números primos. Una larga historia para un número que seguro que todavía guarda muchas sorpresas.
Más información
http://en.wikipedia.org/wiki/Pihttp://mathworld.wolfram.com/Pi.html
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_formulae_involving_%CF%80
http://www.britishmuseum.org/explore/highlights/highlight_objects/aes/r/rhind_mathematical_papyrus.aspx
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